Discrete dynamische modellen

Discrete dynamische modellen worden ook wel systemen genoemd. Ze ontwikkelen zich in de loop van de tijd. Er spelen verschillende variabelen een rol, die elkaar beïnvloeden.

Bij een discreet dynamisch model is er sprake van een vaste functie $F$:

• De volgende waarde vind je door de functie $F$ op de huidige waarde toe te passen
• Met andere woorden: $\text{waarde}\to F\to \text{nieuwe waarde}$
• En dit herhaalt zich steeds: $\dots u_{n-2}\to F\to u_{n-1}\to F\to u_n\to F\to u_{n+1}\to \dots$
• $F$ heet een iteratiefunctie.

Notatie van een rij

$u=u_0,u_1,u_2,\cdots ,u_n$

• Startterm: eerste term in de rij
• Geldigheid: voor welke $n$ geldt de formule?
  • $n=0,1,2,\cdots$
  • $n\in \mathbb{N}$
  • $N\ge 0$

Soorten formules

• Recursieve formule
  • Bereken nieuwe waarde op basis van vorige termen
  • Altijd startterm en geldigheid
  • $a_n=\{\begin{array}{ll}{a}_{n-1}+n,& \text{voor }n\ge 1\\ a_0=0& \end{array}$
• Directe formule
  • Geeft direct de waarde
  • Geen startterm nodig
  • $a_n=\frac{n(n+1)}{2}$

Type rijen

• Rekenkundige rij
  • Een vast verschil tussen de termen
  • Lineaire groei
• Meetkundige rij
  • Een vaste factor tussen de termen
  • Exponentieel
• Kwadratische rij
  • Geen vaste factor of vast verschil

Speciale rijen

Verschilrij ($V$)

• $V_n=a_n-a_{n+1}(n=1,2,3,\dots )$
• Rij $a$ begint met rangnummer $0$, terwijl de verschilrij $V$ met rangnummer $1$ begint.
• Speciale gevallen
  • Verschilrij van een rekenkundige rij: constante rij
  • Verschilrij van een meetkundige rij: meetkundige rij met dezelfde reden
  • Verschilrij van een kwadratische rij: rekenkundige rij

Somrij ($S$)

• Algemene stellingen
  • $S_0=a_0$
  • $S_1=a_0+a_1$
  • $S_n=S_{n-1}+a_n$
  • $S_n=\sum _{n=0}^n{a}_n$
• Bij een rekenkundige rij
  • $S_n=\frac{1}{2}\cdot n\cdot (a_0+a_n)$
  • $n\times$ het gemiddelde van de rij
• Bij een meetkundige rij ($c\cdot r^n$)
  • $S_n=\frac{c\cdot r^{n+1}-c}{r-1}$
  • $S_n=\frac{\text{volgende}-\text{eerste}}{\text{reden}-1}$

Limieten

Gegeven is een rij $u_n,n=0,1,2,\dots$
Dan $\underset{n\to \infty }{\lim }{u}_n=L$, als de termen van de rij $u_n$ op den duur minder dan elk positie getal, hoe klein ook, van $L$ afwijken.

Notatie

• De limiet van de rij $u_n$ (als $n$ nadert tot oneindig) is $L$.
• De rij $u_n$ convergeert naar $L$
• $\underset{n\to \infty }{\lim }{u}_n=L$
• $\forall ϵ>0,\exists N\in \mathbb{N}\forall n\ge N[|u_n-L|<ϵ]$
• Als er een getal is waar naar toe de getallen in de rij naderen, dan heet de rij convergent.
• Als er geen getal is waar naar toe de getallen in de rij naderen:
  • $\underset{n\to \infty }{\lim }{u}_n=\infty$
  • $\underset{n\to \infty }{\lim }{u}_n=-\infty$

Rekenregels voor limieten

Gegeven zijn twee convergente rijen $u$ en $v$. Dan is ook de rij

• $c\cdot u$ convergent en $\underset{n\to \infty }{\lim }(c\cdot u_n)=c\cdot \underset{n\to \infty }{\lim }{u}_n$;
• $u+v$ convergent en $\underset{n\to \infty }{\lim }(u_n+v_n)=\underset{n\to \infty }{\lim }{u}_n+\underset{n\to \infty }{\lim }{v}_n$;
• $u-v$ convergent en $\underset{n\to \infty }{\lim }(u_n-v_n)=\underset{n\to \infty }{\lim }{u}_n-\underset{n\to \infty }{\lim }{v}_n$;
• $u\cdot v$ convergent en $\underset{n\to \infty }{\lim }(u_n\cdot v_n)=\underset{n\to \infty }{\lim }{u}_n\cdot \underset{n\to \infty }{\lim }{v}_n$.
• $\underset{n\to \infty }{\lim }\left(\frac{u_n}{v_n}\right)=\frac{{\lim }_{n\to \infty }{u}_n}{{\lim }_{n\to \infty }{v}_n},\text{als }\underset{n\to \infty }{\lim }{v}_n\ne 0$.

Gegeven zijn twee rijen $u$ en $v$. De rij $v$ is convergent; de rij $u$ niet.
Gegeven is $\underset{n\to \infty }{\lim }{u}_n=\infty$

• $\underset{n\to \infty }{\lim }(c\cdot u)=\infty$ als $c>0$ en $\underset{n\to \infty }{\lim }(c\cdot u_n)=-\infty$ als $c<0$;
• $\underset{n\to \infty }{\lim }(u_n+v_n)=\infty$;
• $\underset{n\to \infty }{\lim }(u_n-v_n)=\infty$;
• $\underset{n\to \infty }{\lim }(u_n\cdot v_n)=\infty$ als $\underset{n\to \infty }{\lim }{v}_n>0$ en $\underset{n\to \infty }{\lim }(u_n\cdot v_n)=-\infty$ als $\underset{n\to \infty }{\lim }{v}_n<0$;
• $\underset{n\to \infty }{\lim }\left(\frac{u_n}{v_n}\right)=\infty$ als $\underset{n\to \infty }{\lim }{v}_n>0$ en $\underset{n\to \infty }{\lim }\left(\frac{u_n}{v_n}\right)=-\infty$ als $\underset{n\to \infty }{\lim }{v}_n<0$

Het vinden van $\underset{n\to \infty }{\lim }\left(\frac{u_n}{v_n}\right)$ als $\underset{n\to \infty }{\lim }{u}_n=\infty$ en $\underset{n\to \infty }{\lim }{v}_n=\infty$ is lastig, maar het wordt eenvoudiger met deze rekenstap:

Deel de teller en noemer door een geschikt getal: vaak een geschikte macht, bij voorkeur noemer niet nul makend.

Voorbeelden

$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{8n^3+5n^2}{4n^3+n+7}=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{8+5n^{-1}}{4+n^{-2}+7n^{-3}}=\frac{8+0}{4+0+0}=2$

$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{8n^3+5n^2}{4n^2+n}=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{8n+5}{4+n^{-1}}=\infty$, want de teller nadert tot oneindig en de noemer tot $4$.

Limieten algebraisch bepalen

Voor machtsvergelijkingen:

• Als $a>0$, dan $\underset{n\to \infty }{\lim }{n}^a=\infty$
• Als $a<0$, dan $\underset{n\to \infty }{\lim }{n}^a=0$
• Als $g>1$, dan $\underset{n\to \infty }{\lim }{g}^n=\infty$
• Als $0<g<1$, dan $\underset{n\to \infty }{\lim }{g}^n=0$

Limieten bepalen met webgrafieken

Volgt nog

Opmerkingen

Oefenen

• De Wageningse Methode: Discrete dynamische modellen
• De Wageningse Methode: Oefentoets

Bronnen

• De Wageningse Methode: Discrete dynamische modellen
• RU: Rijen en rijtjes
• RU: Recursieve definities